低维分支随机游动范围的容量

考虑 $\mathbb Z^d$ 中的分支随机游动 $(V_u)_{u\in \mathcal T^{IGW}}$，其族谱树 $\mathcal T^{IGW}$ 由一列独立同分布的临界 Galton-Watson 树构成。令 $R_n$ 为当指标 $u$ 遍历 $\mathcal T^{IGW}$ 中前 $n$ 棵子树时，$(V_u)$ 所访问的 $\mathbb Z^d$ 中点的集合。我们的主要结果表明，对于 $d\in \{3, 4, 5\}$，当 $n \to \infty$ 时 $R_n$ 的容量几乎必然等于 $n^{\frac{d-2}{2}+o(1)}$。