热带曲线上除子类的典范表示与矩阵-树定理

设 $\Gamma$ 为亏格 $g$ 的紧热带曲线（或度量图）。利用热带theta函数理论，Mikhalkin 和 Zharkov 证明了在 $\Gamma$ 上度数为 $g$ 的除子的每个线性等价类中存在一个典范有效表示（称为断裂除子）。我们给出了每个等价类中存在唯一断裂除子这一事实的新的组合证明，并在此过程中建立了一个具有独立意义的该结果的“积分”版本。作为应用，我们提供了 Kirchhoff 著名的矩阵-树定理（一个对偶版本）的“几何证明”。事实上，我们证明了 $\Gamma$ 的每个加权图模型 $G$ 都会导出 $g$ 维实环面 ${\rm Pic}^g(\Gamma)$ 的一个由平行多面体 $C_T$ 构成的典范多面体分解，$G$ 的每棵生成树 $T$ 对应一个，而对偶 Kirchhoff 定理便成为 ${\rm Pic}^g(\Gamma)$ 的体积等于该分解中各胞腔体积之和这一陈述。