布朗圆盘与布朗蛇

我们给出了布朗圆盘的一种新构造，该对象由Bettinelli和Miermont定义为当边界大小趋于无穷时带边界的四边形剖分的缩放极限。我们的方法与布朗地图的构造非常相似，但利用了最近引入的布朗蛇的正值游程测度。该游程测度涉及一棵随机连续树，其顶点被赋予非负标记，在我们的布朗圆盘方法中这些标记对应于到边界的距离。我们给出了构造的若干应用。特别地，我们证明了边界上的均匀测度可作为边界的小管状邻域上适当归一化的体积测度的极限获得。我们还证明了布朗网补集的连通分支是布朗圆盘，正如Miller和Sheffield近期工作所提示的那样。最后，我们表明以布朗地图的特异点为中心的球补集的连通分支，在给定其体积和周长的条件下，是独立的布朗圆盘。