趋化现象中一类奇异扰动非局部半线性问题的边界层剖面

本文研究如下奇异扰动非局部半线性问题\begin{equation} \label{h} \tag{$\ast$} \begin{cases} \varepsilon^2 \Delta u=\frac{m}{\int_{\Omega}e^{u}{\mathrm{d}x}}u e^u\quad &\mathrm{in}~\Omega,\\ u= u_0~&\mathrm{on}~\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} 该问题对应于描述好氧细菌运动的趋化系统的稳态问题，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N (N\geq 1)$ 中的光滑有界区域，$\varepsilon, m$ 和 $u_0$ 为正常数。我们证明问题 \eqref{h} 存在唯一的经典解，当 $\varepsilon \to 0$ 时该解呈边界层剖面，其边界层厚度为 $\varepsilon$ 量级。当 $\Omega=B_R(0)$ 为半径 $R>0$ 的球时，我们得到了精确到 $\varepsilon$ 一阶展开的精细渐近边界层剖面，并由此发现紧邻边界处的层剖面斜率随曲率减小，而边界层厚度随曲率增大。