多力点 SLE$_\kappa(\underline\rho)$ 的边界格林函数与 Minkowski 容度测度

我们考虑 $\mathbb{H}$ 中从 $w$ 到 $\infty$ 的瞬态弦状 SLE$_\kappa(\rho_1,\dots,\rho_m)$ 曲线 $\eta$，其力点为 $(-\infty,w^-]$ 中 $v_1> \cdots >v_m$，该曲线与 $(-\infty,v_m)$ 相交且不在其上边界填充。主要结果是：在 $\eta\cap (-\infty,v_m]$ 上存在一无原子局部有限 Borel 测度 $\mu_\eta$，使得对任意 $v<v_m$，$\eta\cap [v,v_m]$ 的 $d$ 维 Minkowski 容度存在且等于 $\mu_\eta [v,v_m]$，其中 $d=\frac{(\sum \rho_j+4)(\kappa-4-2\sum \rho_j)}{2\kappa}$ 为 $\eta\cap [v,v_m]$ 的 Hausdorff 维数。在所有 $\rho_j=0$ 的情形，该测度与 [Alberts-Sheffield, 2011] 中针对弦状 SLE$_\kappa$ 导出的协变测度相差一乘性常数。我们称此测度为 Minkowski 容度测度，将其推广至 ${\mathbb{R}}^n$ 的一类子集，并证明它们满足共形协变性。为构造 $\eta\cap [v,v_m]$ 上的 Minkowski 容度测度，我们遵循标准方法推导 $\eta$ 在 $(-\infty,v_m)$ 上单点与两点边界格林函数的存在性与估计，这些格林函数是 $\eta$ 经过以 $(-\infty,v_m)$ 上点为圆心的微小圆盘或开实区间之概率经重标度后的极限。