一维局域化中的边界条件、相位分布与隐藏对称性

考虑具有小振幅短程关联随机势的一维无序系统，研究其靠近初始能带边缘的行为。当系统长度 L 增加时，获得了 Landauer 电阻 \rho 与相位变量 \psi=\theta-\varphi（\theta 与 \varphi 为传入转移矩阵中的相位）的联合分布 P(\rho,\psi) 的演化方程。在大 L 极限下，该方程允许变量分离，从而提供稳态分布 P(\psi) 的存在性，其决定了 P(\rho) 演化方程中的系数。L\to\infty 时的极限分布 P(\rho) 为对数正态且独立于边界条件。它由“内部”相位分布决定，其形式在整个能量范围（包括初始晶体的禁带）内得以确立。随机相位近似在允带深处有效，但在其他能量处严重失效。相位 \psi 表现为“坏”变量，而“正确”变量为 \omega=-\ctg (\psi/2)。稳态分布 P(\omega) 的形式由系统的内部性质决定，且与边界条件无关。边界条件的变化导致尺度变换 \omega\to s\omega 与平移 \omega \to \omega+\omega_0 和 \psi\to\psi+\psi_0，其决定了进入演化方程的“外部”相位分布。极限分布 P(\rho) 对外部分布 P(\psi) 的独立性允许我们谈及隐藏对称性，其性质如下文揭示。