混沌偏微分方程生成式求解器的统计误差界：Wasserstein 稳定性、泛化与湍流

不可压欧拉方程的统计解描述了作为时间参数化的 $L^2$ 上的律的湍流动力学，其多点关联满足无限层级的弱身份式。现代用于偏微分方程预测的生成式采样器（如流匹配、rectified flows、通过概率流 ODE 的扩散）是 measure-transport 机制，因此在律上诱导出 Markov 算子。我们发展了与 Lanthaler--Mishra--Par\'{e}s-Pulido (LM) 的关联-测度框架相兼容的律层面分析：包括 $d_T(\mu,\nu)=\int_{0}^{T} W_{1}\!\bigl(\mu_t,\nu_t\bigr)\,\mathrm{d}t$ 中的收敛性、由结构函数控制的紧致性、以及通过层级身份式识别极限。定量上，我们证明了一个 $W_2$ 稳定性估计，其增长率为在最优耦合下的加权应变平均值，以及一个分解为已解析不匹配项和由结构函数(谱)界限控制的不可避免高频覆盖尾部的单步误差。这些输入通过离散 Gronwall 递归传递至多步滚动，其放大由平均应变指数而非最坕情况 Lipschitz 常数控制。在定性方面，采样器原生的路径控制导致 LM 时间正则性；结合均匀能量和结构函数界限，可在 $d_T$ 中获得预紧致性，并实现 LM 合格观测量的强收敛。如果层级残差沿序列消失，则每个极限都是 LM 统计解，其残差受训练本生漂移/评分回归误差的界限。最后，我们展示了常见的有限网格诊断——proper 分布得分和类似似然的证书——如何在相同的统计解框架中作为已解析观测量获得原则性解释。