一维局域化中两个部分解的联合分布：关于相变的新信息

我们考虑具有随机势的一维薛定谔方程的两个线性独立解 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 的联合分布。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 的各自分布均为对数正态分布，自然地可假设其联合分布也是对数正态分布。该假设在允许带和禁带深处得到证实，但在初始能带边缘附近失效。我们阐明了偏离对数正态形式的机制，并计算了对其的一阶修正。后者使得可以证明普适电导涨落中谱线的展宽。关于分布 $P(\psi)$ 中的相变获得了大量新信息，其中 $\psi$ 是进入演化方程的组合相位。根据先前的文献，该相变与在某一特定能量 $E_0$ 处 $\psi$ 虚部的出现有关，且不伴随系统电阻的奇异性。该相变的真实含义在于决定通解的四个 Lyapunov 指数构型的变化：对于 $E>E_0$ 存在两对共轭复指数，而对于 $E<E_0$ 所有指数均变为实数。在允许带和禁带深处的能量处证实了两种不同构型的实现；这在形式上证明了奇异点 $E_0$ 的存在。当坐标改变时，通过追踪波中场符号的变化，可以在光学系统中观察到该相变。