随机平面图上的边界条件与 q 态 Potts 模型

我们扩展了近期关于连通边界上允许 $p\leqslant q$ 个等权自旋的随机平面图系综上 $q$ 态 Potts 模型的分析。本文探讨了有限叶 resolvent（预解式）的 $(q<4,p\leqslant q)$ 参数空间，并推导了相应的临界指数。根据定义，若存在 $p=1$ 的解，则 $q$ 是允许的，我们重现了熟知的结果 $q= 2(1+\cos{\frac{m}{n} \pi})$，其中 $m,n$ 互素。此外，我们发现存在两个不同的解序列，其中之一包含 $p=2$ 与 $p=q/2$，另一则不包含。边界条件 $p=3$ 仅出现在 $q=3$ 时，而后者还有 $p=3/2$ 边界条件；我们猜想这一新解在标度极限下对应于 Affleck 等人在平面格点上发现的“新”边界条件。我们还在该背景下探讨了 $q=3$ 的 Kramers-Wannier 对偶，并显式构造了已知的边界条件；我们表明混合边界条件对偶于对偶图上的某一边界条件，该条件对应于 Affleck 等人在固定格点上对新边界条件的辨识。另一方面，我们发现对偶的混合边界条件以及原理论相应的新边界条件无法用常规的 resolvent（预解式）描述。