四边形方程的可积边界条件、开边界约化与可积映射

在四边形图上的可积偏差分方程背景下，我们引入开边界约化这一概念，作为构造离散可积映射及其不变量的新手段。这代表了众所周知的周期约化的一种替代方案。该构造处理限制在条带上的四边形图上四边形方程的适定初值问题。它依赖于所谓的双行单值矩阵并给出可积映射。为获得双行单值矩阵，我们使用边界矩阵和离散边界零曲率条件的概念，它们本身与边界一致性条件相关，后者补充了著名的可积四边形方程$3$D一致性条件，并给出边界方程的可积性判据。本文明确了这一关系。我们聚焦于Adler-Bobenko-Suris（ABS）分类中的四边形方程及其离散可积边界方程。以具有两条平行边界的正则$\mathbb{Z}^2$-格子为主要示例，我们给出了通过开边界约化获得的映射、边界矩阵以及从双行单值矩阵提取的不变量的显式构造。针对H1和Q1（$\delta =0$）方程考虑了可积映射的示例，并给出了一个有趣的平面非QRT映射示例。还给出了超出$\mathbb{Z}^2$-格子的条带上适定四边形图系统的示例。