半直积的 Bogomolov 乘子与收缩有理性

设 $G$ 为有限群。Bogomolov 乘子 $B_0(G)$ 被构造为 $\bm{C}(V)^G$ 有理性的障碍，其中 $G\to GL(V)$ 是 $\bm{C}$ 上的忠实表示。我们证明，对于任意有限群 $G_1$ 和 $G_2$，在限制映射下 $B_0(G_1\times G_2)\xrightarrow{\sim} B_0(G_1)\times B_0(G_2)$。若 $G=N\rtimes G_0$ 且 $\gcd\{|N|,|G_0|\}=1$，则在限制映射下 $B_0(G)\xrightarrow{\sim} B_0(N)^{G_0}\times B_0(G_0)$。对于任意整数 $n$，我们表明存在非直积 $p$-群 $G_1$ 和 $G_2$，使得 $B_0(G_1)$ 和 $B_0(G_2)$ 分别包含同构于 $(\bm{Z}/p \bm{Z})^n$ 和 $\bm{Z}/p^n \bm{Z}$ 的子群。另一方面，若 $k$ 为无限域且 $G=N\rtimes G_0$，其中 $N$ 是指数为 $e$ 的交换正规子群并满足 $\zeta_e\in k$，我们将证明：若 $k(G_0)$ 是收缩 $k$-有理的，则在满足某些“局部”条件的前提下，$k(G)$ 也是收缩 $k$-有理的；该结果推广了 Saltman 和 Jambor \cite{Ja} 的两个先前结果。