Fano 簇的双有理刚性与 alpha 不变量

我们证明对任意 $\epsilon>0$，存在一个双有理超刚性 Fano 簇 $X$，使得 $\frac{1}{2}\leqslant\alpha(X)\leqslant \frac{1}{2}+\epsilon$。同时我们证明对任意 $\epsilon>0$，存在一个 Fano 簇 $X$ 与有限子群 $G\subset\mathrm{Aut}(X)$，使得 $X$ 是 $G$-双有理超刚性的，且 $\alpha_G(X)<\epsilon$。