五度平面向量场族的分岔值

我们研究了之前论文中已考虑过的五度平面微分方程单参数族 $\dot {\bf x}=X_b({\bf x})$ 在 Poincar\'{e} 球面上的极限环数量和分岔图。我们证明存在一个值 $b^*>0$，使得极限环仅当 $b\in(0,b^*)$ 时存在，并且通过使用有理 Dulac 函数证明其唯一性和双曲性。此外，我们提供了一个长度为 27/1000 的区间，其中包含 $b^*$。据我们所知，用于确定该区间的工具是新的，基于为微分方程流构造无接触代数曲线。这些曲线是利用关于向量场无穷远临界点的分离线的解析信息获得的。为了证明 Bendixson-Dulac 定理有效，我们开发了一种基于计算所谓双重判别式来研究双变量单参数多项式族是否不为零的方法。