平面向量场单参数族的分岔图与稳定性

我们考虑由 A. Bacciotti 于 1985 年引入的平面五次系统单参数族：$\dot x= y^3-x^3$, $\dot y= -x+my^5$。已知该系统至多存在一个极限环，且仅当参数 $m$ 位于 $(0.36,0.6)$ 区间时才可能存在。在本文中，利用 Bendixon-Dulac 定理，我们对所有先前结果给出了新的统一证明，将该区间缩小至 $(0.547,0.6)$，并证明了极限环的双曲性。我们还探讨了多环 (polycycles) 的存在性问题。研究该族系统的主要兴趣和难点在于它不是一个旋转向量场的半完全族。当系统存在极限环时，我们还确定了原点吸引盆的显式下界。最后，我们回答了关于上述系统扩展中原点稳定性变化的一个开放性问题。