Archdeacon 型双嵌入：其全自同构群及其数量

Archdeacon 在其开创性论文 $[1]$ 中定义了 Heffter 阵列的概念，以给出完全图 $K_v$ 的 $\mathbb{Z}_{v}$-正则双嵌入到可定向曲面的显式构造。本文中，我们首先引入拟 Heffter 阵列作为 Heffter 阵列概念的推广，并表明在此背景下可定义完全多部图 $K_{\frac{v}{t}\times t}$ 到可定向曲面的 Archdeacon 型 $2$-可着色嵌入。随后，我们的主要目标是研究这些嵌入的全自同构群：此处我们得以借助概率方法证明，几乎总是该群恰为 $\mathbb{Z}_{v}$。作为该结果的应用，给定正整数 $t\not\equiv 0\pmod{4}$，我们证明对无穷多对 $v$ 与 $k$，至少存在 $(1-o(1)) \frac{(\frac{v-t}{2})!}{\phi(v)}$ 个面长为 $k$ 的倍数的非同构双嵌入 $K_{\frac{v}{t}\times t}$。此处 $\phi(\cdot)$ 表示欧拉函数。此外，在 $t=1$ 且 $v$ 为素数的情形下，几乎所有此类嵌入定义的面均具有相同长度 $kv$，即我们拥有多于指数数量的非同构 $kv$-边形双嵌入 $K_{v}$。