当 $k\equiv 0,3\mod 4$ 时的全局简单 Heffter 阵列 $H(n;k)$

方形 Heffter 阵列是 $n\times n$ 阵列，使得每行和每列包含 $k$ 个填充格，每行与每列之和可被 $2nk+1$ 整除，且对每个整数 $1\leq x\leq nk$，阵列中出现 $x$ 或 $-x$。Archdeacon 指出，满足两个附加条件的 Heffter 阵列可给出完全图 $K_{2nk+1}$ 在可定向曲面上的面 $2$-可着色嵌入，其中每种颜色的面给出一个 $k$-圈系统。此外，顶点上的循环置换作为该嵌入的自同构。这些必要条件涉及 Heffter 阵列每行与每列中元素的循环序，分别为：(1) 对每行与每列，由循环序确定的顺序偏和必须在模 $2nk+1$ 下互异；(2) 行与列循环序的复合等价于阵列中元素上的单个循环置换。我们构造了在满足以下条件时满足条件 (1) 的 Heffter 阵列：(a) $k\equiv 0\mod 4$；或 (b) $n\equiv 1\mod 4$ 且 $k\equiv 3\mod 4$；或 (c) $n\equiv 0\mod 4$、$k\equiv3\mod 4$ 且 $n\gg k$。作为上述结果的推论，我们得到了 $K_{2nk+1}$ 的成对正交 $k$-圈分解。