$k \equiv 1 \pmod{4}$ 的全局简单 Heffter 数组 $H(n;k)$

Heffter 数组是用于构造正交循环分解和完整图在曲面上的双嵌入的组合结构。$m \times n$ 部分填充数组 $H(m,n;h,k)$ 中的各元素来自 $\mathbb{Z}_{2nk+1}$，且各元素互不相同且非零；每行包含 $h$ 个填充格子，每列包含 $k$ 个填充格子；填充格子中的元素构成 $\mathbb{Z}_{2nk+1}$ 的半集；且每行和每列的元素和在模 $2nk+1$ 下为零。若行列元素和在整数上为零，则称为整数 Heffter 数组。进一步若各行列的部分和在自然顺序下互不相同，则称为全局简单 Heffter 数组。当 $m=n$ 且 $h=k$ 时，数组为平方型，记作 $H(n;k)$。虽然全局简单平方 Heffter 数组的存在性已在数个同余类中建立，但 $k \equiv 1,2 \pmod{4}$ 且 $k > 10$ 的情形长期以来保持开放问题[1]。本文通过显式构造 $k \equiv 1 \pmod{4}$ 且 $n \equiv 0,3 \pmod{4}$ 的全局简单整数 Heffter 数组 $H(n;k)$，填补了文献中的空白。这些构造保证了完整图 $K_{2nk+1}$ 的正交循环 $k$ 环分解的存在性。[1] J.H. Dinitz 和 A. Pasotti. Heffter 数组的综述. 载于 C.J. Colbourn 编辑, New Advances in Designs, Codes and Cryptography, volume 86, pages 353-392. Springer Nature Switzerland, 2024.