整数 Heffter 数组存在性的最新进展

一个整数 Heffter 数组 $H(m,n;s;k)$ 是一个 $m\times n$ 部分填充数组，其元素取自 $\Omega\subset \mathbb{Z}$ 的一个子集，使得 $\{\Omega,-\Omega\}$ 构成集合 $\{1,2,\ldots,2nk\}$ 的一个划分，并满足以下条件：每行包含 $s$ 个填充单元，每列包含 $k$ 个填充单元，每行和每列中的元素之和均为 0。Dan Archdeacon 猜想整数 $H(m,n;s;k)$ 存在当且仅当 $ms=nk$，$3\leq s \leq n$，$3\leq k\leq m$ 且 $nk\equiv 0,3\pmod 4$。在本文中，我们提供了这些对象的新构造，使得我们能够在每个可容许情形下证明 Archdeacon 猜想的成立，除了 $k=3,5$ 且 $s\not \equiv 0\pmod 4$ 且 $\gcd(s,k)=1$ 的情形。