配备部分传输度量的无序 m 元组空间的双 Lipschitz 嵌入

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 为非空、开且真(proper)的集合。考虑 $Wb(\Omega)$，即 $\Omega$ 上有限 Borel 测度构成的空间，配备由 Figalli 与 Gigli 引入的、允许在 $\partial \Omega$ 上产生与销毁质量的部分传输度量。我们等价地证明，$Wb(\Omega)$ 等距于在 $\Omega$ 的一点完备化上配备普通 Wasserstein 距离的所有 Borel 测度的一个子集，该完备化装备捷径度量 $$\delta(x,y)= \min\{\|x-y\|, \operatorname{dist}(x,\partial \Omega)+\operatorname{dist}(y,\partial\Omega)\}.$$ 本文构造了 $Wb(\Omega)$ 中无序 $m$ 元组集合到 Hilbert 空间的双 Lipschitz 嵌入。这将 Almgren 的双 Lipschitz 嵌入定理推广到最优部分传输的设定。