欧氏空间中的叶状分解与向量测度的最优传输

对于给定的 $1$-Lipschitz 映射 $u\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，我们定义 $\mathbb{R}^n$ 的一个划分（除去一个 Lebesgue 测度为零的集合），将其划分为极大的闭凸集，使得 $u$ 在这些集合上的限制为等距映射。我们考虑关于此划分的对数凹测度的 disintegration（ disintegration，即测度分解）。我们证明，对于几乎每一个维数为 $m$ 的划分集合，其关联的条件测度是对数凹的。该结果在带权黎曼流形的曲率-维数条件 $CD(\kappa,N)$ 背景下亦被证明。这部分地证实了 Klartag 的一个猜想。我们给出了 Klartag 另一个猜想的反例：给定一个总质量为负的 $\mathbb{R}^n$ 上的向量测度，关于由某个 $1$-Lipschitz 映射得到的划分的条件测度，其总质量也为零。我们发展了向量测度的最优传输理论，并利用它在满足某一条件时肯定地回答了该猜想。