超越 Moore-Penrose 第一部分：最小化矩阵范数的广义逆

本文是两篇系列长文中的第一篇，研究最小化矩阵范数的线性广义逆。此类广义逆最著名的代表是 Moore-Penrose 伪逆 (MPP)，它恰好最小化 Frobenius 范数。释放与 Frobenius 最优性相关的自由度，使我们能够促进其他有趣的性质。在第一部分中，我们考察范数最小化广义逆的基本性质，特别是在唯一性及其与 MPP 的关系方面。我们首先证明 MPP 最小化的范数远不止那些酉不变范数，从而进一步巩固了其在许多情况下作为稳健选择的地位。然后，我们集中讨论一些通常不被 MPP 最小化，但其最小化与线性逆问题和稀疏表示相关的范数。特别地，我们考察混合范数和诱导 $\ell^p \rightarrow \ell^q$ 范数。一个有趣的代表是稀疏伪逆，我们将在第二部分中对其进行更详细的研究。接下来，我们将注意力从范数转移到具有有趣行为的矩阵上。我们展示了一类其广义逆始终为 MPP 的矩阵（即使对于通常会产生不同逆的范数也是如此），以及一类许多广义逆重合但不与 MPP 重合的矩阵。最后，我们讨论了范数最小化广义逆的高效计算。