满足 Moore-Penrose 伪逆反序律的矩阵刻画

我们给出了满足 Moore-Penrose 伪逆反序律的矩阵的构造性刻画。具体而言，对于给定矩阵 $A$，我们利用 $A$ 的右奇异向量构造了另一个矩阵 $B$，其具有任意相容的尺寸和选定的秩，使得 $AB$ 满足反序律。此外，我们证明了满足该定律的任何矩阵均来源于类似的构造。作为推论，我们给出了 $B^+ A^+$ 为 $AB$ 的伪逆的几个等价条件，例如 $\mathcal{C}(A^*AB)=\mathcal{C}(BB^*A^*)$ 或 $B\left(AB\right)^+A$ 为正交投影。此外，我们参数化了固定矩阵的所有可能的 SVD 分解，并给出了类似 Greville 的等价条件，使得 $B^+A^+$ 为 $AB$ 的 $\{1,2\}$-、$\{1,2,3\}$- 和 $\{1,2,4\}$-逆，并利用 $\mathcal{C}(A^*)$ 和 $\mathcal{C}(B)$ 之间的主角度给出了几何视角的洞察。