两个或三个矩阵乘积广义逆的反序律及其应用

矩阵广义逆理论中的基本研究问题之一是建立矩阵乘积广义逆的反序律。在假设$A$、$B$和$C$为同阶三个非奇异矩阵时，乘积$AB$和$ABC$亦非奇异，且$AB$和$ABC$的逆满足反序律$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$和$(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$。若$A$、$B$和$C$中部分或全部奇异，上述反序律到广义逆的两个推广可写为$(AB)^{(i,\ldots,j)} = B^{(i_2,\ldots,j_2)} A^{(i_1,\ldots,j_1)}$和$(ABC)^{(i,\ldots,j)} = C^{(i_3,\ldots,j_3)} B^{(i_2,\ldots,j_2)}A^{(i_1,\ldots,j_1)}$，或其他混合反序律。这些等式对于矩阵的不同广义逆选择未必成立。因此，由于根据四个Penrose方程的组合选择，给定矩阵共有15类$\{i,\ldots, j\}$-广义逆，对反序律成立进行分类并推导充要条件是一项艰巨工作。本文首先建立了关于$AB$和$ABC$的$\{1\}$-和$\{1,2\}$-广义逆的数十种混合反序律。然后利用矩阵的值域与秩的公式以及矩阵的常规运算，对八种常用广义逆的特殊反序律族$(ABC)^{(i,\ldots,j)} = C^{-1}B^{(k,\ldots,l)}A^{-1}$进行了分类研究。此外，讨论了特殊情况$(ABA^{-1})^{(i,\ldots,j)} = AB^{(k,\ldots,l)}A^{-1}$并给出了一些应用。