矩阵乘积的广义逆：从基本子空间到随机分解

我们研究了矩阵乘积 $A=CR$ 的 Moore-Penrose 伪逆和广义逆，以建立广义和随机矩阵逆的统一框架。该分析根植于基本原理，关注四个基本子空间的几何。我们检查了：(1) 逆序律，$A^+ = R^+C^+$，当 $C$ 的列线性无关且 $R$ 的行线性无关时成立；(2) 普遍正确公式，$A^+ = (C^+CR)^+(CRR^+)^+$，提供了涉及子空间之间映射的几何解释；(3) 一种新的广义随机公式，$A^+_p = (P^TA)^+P^TAQ(AQ)^+$，仅当抽样矩阵 $P$ 和 $Q$ 保持 $A$ 的秩时才等式成立，即 $\mathrm{rank}(P^TA) = \mathrm{rank}(AQ) = \mathrm{rank}(A)$。该框架扩展到广义 $\{1,2\}$-逆和特殊形式，揭示了既定随机线性代数算法的底层结构，包括随机 SVD、Nystr"om 近似和 CUR 分解。我们演示了在稀疏传感器放置和有效电阻估计中的应用。对于后者，我们提供了一种近似方案的严格定量分析，证明其始终低估真实电阻，并推导出电阻差异误差的 worst-case 谱界。