对称与 ah-对称广义逆的 1-范数最小化与最小秩结构稀疏性：秩一与秩二

广义逆在统计学及应用矩阵代数的其他领域中十分重要。实矩阵 $A$ 的\emph{广义逆}是满足 Moore-Penrose (M-P) 性质 $AHA=A$ 的矩阵 $H$。若 $H$ 还满足 M-P 性质 $HAH=H$，则称其为\emph{自反的}。广义逆的自反性等价于最小秩，这是极受青睐的性质。我们考虑与计算 $A$ 的各种\emph{稀疏}自反广义逆相关的对称性方面。如常，我们使用（向量）1-范数最小化来同时诱导稀疏性并控制元素量级。当 $A$ 对称时，对称的 $H$ 极受青睐，但对 $H$ 作此限制通常无法得到 1-范数最小化的自反广义逆。我们研究一种块构造方法，以产生结构化且具保证稀疏性的对称自反广义逆。令 $A$ 的秩为 $r$，我们确立此类 1-范数最小化广义逆在以下情形是 1-范数最小化的对称广义逆：(i) $r=1$，以及 (ii) $r=2$ 且 $A$ 非负。我们考虑的另一对称性方面关联于另一 M-P 性质：若 $AH$ 对称，则 $H$ 是\emph{ah-对称的}。ah-对称性足以使广义逆经由 $x:=Hb$ 用于求解最小二乘问题 $\min\{\|Ax-b\|_2:~x\in\mathbb{R}^n\}$。我们研究一种列块构造方法，以产生结构化且具保证稀疏性的 ah-对称自反广义逆。我们确立此类 1-范数最小化的 ah-对称广义逆在以下情形是 1-范数最小化的 ah-对称广义逆：(i) $r=1$，以及 (ii) $r=2$ 且 $A$ 满足一技术条件。