闭黎曼流形上随机扩散多项式的平均尼科尔斯基因数

对于 $1\le p,q\le \infty$，扩散多项式 $P_{\bf a}$ 的尼科尔斯基因数定义为 $$N_{p,q}(P_{\bf a})=\frac{\|P_{\bf a}\|_{q}}{\|P_{\bf a}\|_{p}},\ \ P_{\bf a}({\bf x})=\sum_{k:\lambda_{k}\leq n}a_{k}\phi_{k}({\bf x}),$$ 其中 ${\bf a}=\{a_k\}_{\lambda_k\le n}$，以及 $\{(\phi_k,-\lambda_k^2)\}_{k=0}^\infty$ 为黎曼流形 $\mathbb M$ 上拉普拉斯-贝尔特拉米算子 $\Delta_{\mathbb M}$ 的特征对（在归一化黎曼测度下）。我们研究具有独立 $N(0,\sigma^{2})$ 系数的随机扩散多项式的平均尼科尔斯基因数，并得到其确切阶数。对于 $1\leq p<q<\infty$，平均尼科尔斯基因数的阶数为 $n^{0}$（即常数），而最坏情况界为 $n^{d(1/p-1/q)}$；对于 $1\leq p<q=\infty$，平均尼科尔斯基因数的阶数为 $(\ln n)^{1/2}$，而最坏情况界为 $n^{d/p}$。