关于 $R^d$ 中区域的 Nikol'skii 不等式

本文将讨论针对各类函数集、区域和权重的 Nikol'skii 不等式。大部分工作致力于研究有界凸区域 $D$ 上总次数为 $n$ 的代数多项式类。即，我们研究 $\sigma:= \sigma(D,d)$，使得 $$\|P\|_{L_q(D)}\le c n^{\sigma(\frac1p-\frac1q)}\|P\|_{L_p(D)},\quad 0<p\le q\le\infty,$$ 其中 $P$ 是总次数为 $n$ 的多项式。我们利用 $D$ 边界的几何性质，并通过区域间的比较来确定 $\sigma(D,n)$。计算各类区域 Christoffel 函数的渐近行为在我们的研究中至关重要。我们将通过大量实例来说明这些方法，并在这些实例中显式计算出最优的 $\sigma(D,n)$。