有限元计算的自适应变分稳定分析：导论
数值分析
2019-04-16 v3
摘要
我们针对具有非常数且高度振荡系数的标量对流-扩散方程，引入一种用于有限元（FE）计算的自适应变分稳定分析（AVS）。秉承最小二乘有限元方法的精神，AVS-FE 方法将控制二阶偏微分方程（PDE）改写为一个一阶偏微分方程组。然而，在随后推导等价弱形式时，通过对试函数空间与检验函数空间采用不同正则性，应用了 Petrov-Galerkin 技术。我们对试空间使用标准的 C0 有限元逼近空间，对检验函数使用破碎 Hilbert 空间。因此，我们寻求对原始变量及其通量均计算逐点连续解（如最小二乘有限元方法中那样），而检验函数则为分段不连续。为确保后续有限元离散的数值稳定性，我们运用 Demkowicz 与 Gopalakrishnan 的间断 Petrov-Galerkin（DPG）方法思想，通过选取检验函数得到无条件稳定的数值系统（若底层微分算子的核平凡）。在 AVS-FE 方法中，间断检验函数依据 DPG 途径由局部、解耦且适定的变分问题确定，从而给出关于能量范数意义下的最佳逼近性质。我们给出了各类二维数值验证，包括具有高度振荡系数和极高佩克莱特数（高达十亿）的对流-扩散问题。这些结果展示了无条件稳定性，无需任何迎风格式或其他人工数值稳定化。对于对流占优问题，结果并未出现高度扩散……
引用
@article{arxiv.1808.01888,
title = {Automatic Variationally Stable Analysis for FE Computations: An Introduction},
author = {Victor M. Calo and Albert Romkes and Eirik Valseth},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.01888},
year = {2019}
}
备注
Preprint submitted to Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Springer Verlag