Erdős-Rényi 图中最小反馈弧集的渐近性

给定一个有向图，最小反馈弧集（FAS）问题要求找到一个最小的弧集合，移除这些弧后图变为无环图。等价地，FAS 问题要求找到一种顶点排序，使得反馈弧的数量最小。FAS 问题被认为是离散数学中一个核心重要的算法问题。本文的目的是在 Erdős-Rényi 随机有向图（记为 $D(n,p)$）的背景下考虑该问题，其中每条可能的有向弧以固定概率 $p>0$ 被包含。我们关注的是在 FAS 问题中被移除的前馈弧数量与反馈弧数量的典型比率。我们证明，当顶点数 $n$ 趋于无穷时，对于任何固定的 $\epsilon > 0$，该比率大于 $1+\epsilon$ 的概率趋近于零。类似地，当 $n\rightarrow \infty$ 时令 $p$ 趋于零，若 $p>C\log{n}/n$（其中 $C$ 依赖于 $\epsilon$），该结果仍然成立。