随机图中反馈弧集问题的渐近下界

给定一个有向图，最小反馈弧集（FAS）问题要求寻找有向图中一个最小（规模）的弧集，使得移除该弧集后得到一个无环图。在一篇开创性论文中，Berger 和 Shor [1] 于 1990 年建立了任意有向图中 FAS 问题的初始上界。本文针对一类由 Erdős-Rényi 模型 $G(n,M)$ 导出的随机定向有向图，求得了 FAS 问题的渐近\textit{下界}，其中该模型具有 $n$ 个顶点和 $M$ 条随机选取的（无向）边，随后每条边被随机赋予一个方向以形成我们的有向图。我们证明 $$Pr\left(\textbf{Y}^* \le M \left( \frac{1}{2} -\sqrt{\frac{\log n}{\Delta_{av}}}\right)\right)$$ 随 $n$ 呈指数级趋于零，其中 $\textbf{Y}^*$ 为最小反馈弧集的（随机）规模，$\Delta_{av}=2M/n$ 为平均顶点度。作为特例的随机竞赛图的下界由 Spencer [12] 和 de la Vega [13] 获得，本文对此进行了讨论。在将上述下界与 K. Hanauer [7] 在相关随机图上获得的平均实验 FAS 数据进行比较时，我们发现近似式 $\textbf{Y}^*_{av} \approx M\left( \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\log n}{\Delta_{av}}}\right)$ 在图形上与算法计算出的最小反馈弧集平均规模 $\textbf{Y}^*_{av}$ 极为接近。