网格上的渐近最优聚集

在本文中，我们在完全同步 $\mathcal{FSYNC}$ 时间模型下，以渐近最优时间 $\mathcal{O}(n)$ 解决了一个由 $n$ 个不可区分的点状机器人在二维网格上组成的群体的局部聚集问题。给定一个任意分布（但连通）的机器人群体，网格上的聚集问题是将所有机器人定位在一个事先未知的 $2\times 2$ 大小区域内。如果两个机器人在网格上是垂直或水平相邻，则它们是连通的。局部性约束意味着没有全局控制、没有指南针、没有全局通信，仅有局部视觉可用；因此，一个机器人只能看到其网格邻居直至常数 $L_1$-距离，这也限制了其移动。一个机器人可以移动到其八个相邻网格单元之一，如果两个或更多机器人移动到同一位置，它们被\emph{合并}为仅一个机器人。局部性约束此处是重大挑战，因为机器人移动不得损害（唯一可全局检查的）群体连通性。为解决聚集问题，我们提供了一种同步算法——由每个机器人执行——确保机器人合并而不破坏群体连通性。在我们的模型中，机器人可以获取一种特殊状态，该状态标记此机器人执行特定的保持连通性移动，以允许群体后续的合并操作。与网格相比，对于相同机器人和时间模型下欧几里得平面中的聚集，已知最佳上界为 $\mathcal{O}(n^2)$。