欧几里得闭链机器人在线性时间内的聚集

本文关注欧几里得平面中 $n$ 个自主移动机器人的聚集（Gathering）问题相关的如下疑问：是否可能在 $o(n^2)$ 个全同步轮次内，解决那些坐标系无任何共同坐标轴（迷失方向机器人）且仅能在常数距离内看见其他机器人（受限视野）的机器人的聚集问题？已知求解迷失方向且受限视野的遗忘机器人聚集问题的最佳算法需要 $\Theta(n^2)$ 轮次 [SPAA'11]。该算法的下界即便在简化的闭链模型中也成立，其中每个机器人恰有两个邻居且链连接构成一个环。现有实现线性轮次数的唯一算法针对位于二维网格上的迷失方向机器人 [IPDPS'16] 与 [SPAA'16]，两者均利用了局部可见灯光（LUMINOUS 模型）。本文中，我们针对闭链模型证明：假设 LUMINOUS 模型，欧几里得平面中 $n$ 个迷失方向且受限视野的机器人可在 $\Theta\left(n\right)$ 轮次内聚集。灯光用于发起并执行沿链的所谓奔跑（runs）。此类奔跑的启动需确定局部唯一的机器人。与网格 [IPDPS'16] 不同，在欧几里得平面中并非所有构型都能做到这一点。基于 Gr"unbaum 的等角多边形理论，我们识别出无法识别此类局部唯一机器人的等角构型类。我们的解结合两种算法：第一种聚集等角构型，无需任何灯光；第二种用于非等角构型，利用常数个灯光识别局部唯一机器人以发起奔跑。交替执行这些算法可在 $\mathcal{O}(n)$ 轮次内解决聚集问题。