网格上匿名无记忆机器人的聚集

我们考虑一个由 $n$ 个自主移动机器人组成的群体，分布在二维网格上。此类群体的一个基本任务是聚集过程：所有机器人必须聚集在一个（未预先定义的）位置。一种针对极简单机器人的常见局部模型如下：机器人没有公共指南针，仅具有恒定视野半径，是自主且不可区分的，每步最多移动恒定距离，无法通信，是无记忆的，且没有标志或状态。在此机器人模型下，唯一具有已知运行时间界限的聚集算法需要 $\mathcal{O}(n^2)$ 轮，且适用于欧几里得平面。该算法的基础时间模型是全同步 $\mathcal{FSYNC}$ 模型。另一方面，对于二维网格，在相同时间和类似局部模型下，唯一已知的聚集算法还需要常量内存、状态以及“标志”以将这些状态传递给视野范围内的邻居。它们在 $\mathcal{O}(n)$ 时间内聚集。在本文中，我们提出了（据我们所知）首个在网格上的聚集算法，其工作于与上述欧几里得平面策略相同的简单局部模型，即无内存（无记忆）、无“标志”和无状态。我们证明了其正确性以及全同步 $\mathcal{FSYNC}$ 时间模型下的 $\mathcal{O}(n^2)$ 时间界限。该时间界限与前述最佳的欧几里得平面已知算法的时间界限相匹配。我们定义当所有机器人位于一个 $2\times 2$ 正方形内时聚集完成，因为在 $\mathcal{FSYNC}$ 中此类配置无法被进一步解决。