渐近类 Kasner 奇点

我们证明了 Einstein 真空方程解的存在性、唯一性和正则性，这些解在 $(0,T]_t \times \mathbb T^3_x$ 上形如 $${^{(4)}g} = -dt^2 + \sum_{i,j = 1}^3 a_{ij}t^{2p_{\max\{i,j\}}}\, \mathrm{d} x^i\, \mathrm{d} x^j$$，其中 $a_{ij}(t,x)$ 和 $p_i(x)$ 是正则函数，无对称性或解析性假设。这些度规是奇异的，并且当 $t\to 0^+$ 时渐近类 Kasner。这些解预期是高度非通用的，我们的构造可视为用 Fuchsian 型分析求解奇异初值问题，其中数据置于“奇异超曲面” $\{ t = 0\}$ 上。这是首个不施加对称性或解析性的此类结果。为了进行分析，我们在同步坐标系中学习该问题。特别地，我们引入了一种在此类坐标系中进行（加权）能量估计的新方法，该方法基于估计常-$t$ 超曲面的第二基本形式。