各维度空间平坦爱因斯坦-高斯-博内模型的宇宙学动力学：真空情形

在本文中，我们对真空空间平坦的 $((3+D)+1)$ 维爱因斯坦-高斯-博内宇宙学模型进行了系统研究。我们考虑拓扑上由两个具有不同尺度因子的平坦各向同性子空间之积构成的模型。其中一个子空间是三维的，代表我们的空间；另一个是 D 维的，代表额外维度。我们不对尺度因子作任何假设，这使得我们的结果相当普遍。在爱因斯坦-希尔伯特项和高斯-博内项共同作用下，由于运动方程结构不同，D=1、D=2、D=3 以及 $D\geqslant 4$ 的情形具有不同的动力学。我们解析地研究了所有情形下的运动方程，并描述了所有可能的演化区间。结果表明，具有非奇异未来渐近行为的唯一区间是广义相对论中的 Kasner 区间以及指数区间。至于过去渐近行为，对于平滑过渡，唯一可选的是高斯-博内中的 Kasner 区间。据此，我们仅剩下两种可行区间——“纯”Kasner 区间（从高能 Kasner 区间到低能 Kasner 区间的过渡）以及从高能 Kasner 到各向异性指数解的过渡。这些区间出现在高斯-博内耦合 $\alpha$ 的不同符号下：“纯”Kasner 区间在低 D 时发生于 $\alpha > 0$，在高 D 时发生于 $\alpha < 0$；各向异性指数区间仅在 $\alpha > 0$ 时达到。因此，如果我们限定于 $\alpha > 0$ 的解，唯一的晚时间区间是 D=1,2 时的 Kasner 区间以及 $D\geqslant 2$ 时的各向异性指数区间。此外，低能 Kasner 区间（$a(t)\propto t^p$）中 (3+1) 维子空间（“我们的宇宙”）的膨胀率 p 范围从 p=0.5 (D=1) 到 $p=1/\sqrt{3} \approx 0.577$ ($D\to\infty$)，这与尘埃主导的 Friedmann 预言 (p=2/3) 相矛盾。