关于静默各向异性大爆炸奇点的几何研究

本文是发展静默各向异性大爆炸奇点几何框架的两篇文章中的第二篇。在本文中，我们记录了将该几何框架与爱因斯坦方程相结合所得到的几何结论。结果的主要特征如下：假设不涉及任何对称性要求，且足够弱以与大多数已理解渐近几何的大爆炸奇点相一致。该框架给出了渐近几何的清晰图像。它还重现了 Kasner 映射，该映射在物理文献中被猜想为构成爱因斯坦方程真空解渐近动力学的本质。当与爱因斯坦方程结合时，该框架对关于膨胀归一化 Weingarten 映射 $\mathcal{K}$（框架的中心对象之一，定义为叶状结构的叶片的 Weingarten 映射除以平均曲率）的假设给出了部分改进。例如，在关于 $\mathcal{K}$ 特征值的适当假设下，可以证明 $\mathcal{K}$ 的膨胀归一化法向导数呈指数衰减，且 $\mathcal{K}$ 可证明指数收敛，尽管我们最初仅对这些量施加了加权有界性。最后，该框架对现有结果给出了统一视角。此外，在 $3+1$ 维中，解释结果所需的唯一参数是 $\mathcal{K}$ 的特征值和由叶状结构叶片上诱导几何决定的一个附加标量函数。在姊妹文章中，我们获得了关于与框架一致的背景上线性波方程组解渐近行为的结论。