爱因斯坦方程稳定的大爆炸形成：完整的亚临界区域

对于 $(t,x) \in (0,\infty)\times\mathbb{T}^D$，广义Kasner解是一族各类爱因斯坦-物质系统的显式解，它们起初光滑，但在 $t \downarrow 0$ 时发展出大爆炸奇点，即沿类空超曲面的曲率爆破。该族由Kasner指数 $\widetilde{q}_1,\cdots,\widetilde{q}_D \in \mathbb{R}$ 参数化，它们满足两个代数约束。数学物理文献中可追溯至50多年前的启发式论证表明，只要指数在如下意义下“亚临界”：$\mathop{\max_{I,J,B=1,\cdots,D}}_{I < J} \{\widetilde{q}_I+\widetilde{q}_J-\widetilde{q}_B\}<1$，大爆炸的形成在Kasner初值（例如在 $\lbrace t = 1 \rbrace$ 给定）的扰动下应是稳定的。先前的工作在更强假设下证明了奇点的稳定性：1) $D = 3$ 且 $\widetilde{q}_1 \approx \widetilde{q}_2 \approx \widetilde{q}_3 \approx 1/3$ 的爱因斯坦-标量场系统，或 2) $D \geq 39$ 且 $\max_{I=1,\cdots,D} |\widetilde{q}_I| < 1/6$ 的爱因斯坦真空方程。我们证明了Kasner奇点对所有亚临界Kasner指数都是动态稳定的，从而在预期有稳定单调型曲率爆破的完整区域内证实了这些启发式论证。我们处理了 $D \geq3$ 的 $1+D$ 维爱因斯坦-标量场系统以及 $D \geq 10$ 的 $1+D$ 维爱因斯坦真空方程。此外，对于通常预期有不稳定性的 $1+3$ 维爱因斯坦真空方程，我们证明了所有奇异Kasner解在其初值的极化 $U(1)$-对称扰动下都有稳定的大爆炸。除关于极化 $U(1)$-对称解的工作外，我们的结果对Sobolev空间中无对称性的初值开集成立。