Kasner 时空中波动方程与线性化 Einstein-标量场系统朝向奇点的散射

我们考虑具有空间拓扑 $\mathbb{T}^D$ 的广义 Kasner 时空中的标量波动方程 $\square_g \phi$ 和线性化 Einstein-标量场系统。在 Kasner 指数的适当范围内，已知由正则 Cauchy 数据（例如在 $t = 1$ 处）产生的此类方程的解在 Kasner 初始时刻（即 $t = 0$）奇点附近具有某种定量的爆破渐近行为。例如，波动方程的解在 $t = 0$ 附近表现为 $\phi(t, x) \approx \psi_{\infty}(x) \log t + \varphi_{\infty}(x)$。本文描述并证明了上述方程的一种散射理论，将 Kasner 中 $t = 1$ 处的 Cauchy 数据与 $t = 0$ 处的适当渐近数据联系起来。对于标量波动方程，这意味着 $t = 1$ 处的 $(\phi, \partial_t \phi)$ 与函数 $(\psi_{\infty}, \varphi_{\infty})$ 之间存在一个 Hilbert 空间同构。一个有趣的细节是，某些量（例如 $\psi_{\infty}$）相较于 $t = 1$ 处的 $\partial_t \phi$ 表现出 1/2 阶导数的增益。对线性化 Einstein-标量场系统的研究揭示了更多有趣的现象，包括散射理论中某些张量的对角分量与非对角分量之间的差异，以及导数损失对背景 Kasner 时空各向异性的敏感依赖性。事实上，尽管我们的结果适用于背景 Kasner 指数的整个亚临界区域，但随着接近该区域的边界，散射理论中损失和增益的导数阶数可以变得无界。