Kerr 黑洞外部波动方程的散射理论

我们在一般次极端情况 $|a|<M$ 下，为 Kerr 外部背景上的标量波动方程建立了确定的物理空间散射理论。特别是，我们证明了相当于“散射态的存在性和唯一性”以及“渐近完备性”的结果，并且我们进一步表明，由此产生的将过去视界和过去类光无穷远处的辐射场映射到未来视界和未来类光无穷远处辐射场的“散射矩阵”是一个有界算子。后者使我们能够给出超辐射反射的时域理论。散射矩阵的有界性特别表明，与过去类光无穷远处入射的有限能量波包相关的解的最大放大是有界的。在频率方面，这对应于一个新的陈述：适当归一化的反射系数和透射系数一致有界，且独立于频率参数。我们进一步补充论证了超辐射反射确实放大了上述合适波包辐射到未来类光无穷远处的能量。这些结果本质地利用了我们近期证明 [M. Dafermos, I. Rodnianski 和 Y. Shlapentokh-Rothman, Decay for solutions of the wave equation on Kerr exterior spacetimes III: the full subextremal case |a|<M, arXiv:1402.6034] 的改进版，该证明关于 Cauchy 问题解的有界性和衰减，以便应用于仅假设退化能量有限的一类解。相比之下，我们表明类似的散射映射无法为有限非退化能量解类定义。这是由于著名的视界红移效应在反向求解波动方程时表现为蓝移不稳定性。