Kerr内部背景上无质量标量波的有界性

我们考虑在固定的亚极端Kerr背景$(\mathcal M, g)$上无质量标量波方程$\Box_g\psi=0$的解，无对称性。由Kerr外部的先前分析可知，对于由两端Cauchy超曲面上的充分正则数据产生的解$\psi$，解及其导数沿事件视界$\mathcal H^+$适当快速地衰减。利用导出的衰减率，我们证明$\psi$在黑洞内部直至并包括分叉Cauchy视界$\mathcal C\mathcal H^+$上实际上是一致有界的，即$|\psi|\leq C$，且$\psi$实际上连续延拓到该视界。类似于我们之前关于固定亚极端Reissner--Nordström背景上无质量标量波方程解有界性的论文[30]，该分析依赖于加权能量估计、角动量算符交换以及Sobolev嵌入的应用。与Reissner--Nordström情形相反，交换导致了必须控制的额外误差项。