非线性散射理论：关于所有偶数空间维度下渐近去度尔氏真空解

本文旨在为维数为 $(n+1)$（其中 $n\geq4$ 为偶数）的 asymptotically de Sitter 真空爱因斯坦方程解建立确定性的定量非线性散射理论，这些解由空间类渐近边界 $\mathscr{I}^-$ 和 $\mathscr{I}^+$ 处的小散射数据决定。与奇数维数情况相比，偶数维数的情形带来了显著的挑战，此问题在文献中尚未得到解决。本文所指的散射理论包括：散射态的存在性与唯一性、渐近完备性，以及对散射映射 $\mathscr{S}$ 的可逆性及其范数控制。散射态的存在性与唯一性意味着：对于任意小的渐近数据，存在唯一的全局解满足爱因斯坦方程，且该解保持接近去度尔氏度规。渐近完备性则是反向陈述，表明任何这样的解都在 $\mathscr{I}^-$ 和 $\mathscr{I}^+$ 处引出渐近数据。对于充分小的渐近数据，我们构造散射映射 $\mathscr{S}$，将 $\mathscr{I}^-$ 处的数据映射至 $\mathscr{I}^+$ 处的数据，并证明该映射在去度尔氏数据处局部可逆且局部分数 Lipschitz，范数使用 Sobolev 型范数。散射映射结果尖锐，避免“导数损失”，即 $\mathscr{I}^-$ 和 $\mathscr{I}^+$ 处的渐近数据小性使用相同的 Sobolev 范数衡量。尖锐结果的证明需要对爱因斯坦方程进行细致分析，涉及解的几何 Littlewood-Paley 分解，相关分析详见我们的论文合集。