Einstein-标量场系统的线性稳定性机制及其在非线性 Big Bang 形成中的应用

我们在常平均曲率（CMC）输运空间坐标规范下，将 Einstein-标量场方程在 $(0,\infty) \times \mathbb{T}^3$ 上著名的 Kasner 解族附近进行线性化。Kasner 解模拟了在向未来膨胀且在 $\lbrace t = 0 \rbrace$ 处具有“Big Bang”奇点的（通常为）空间各向异性时空中演化的空间均匀标量场。我们在 $\lbrace t = 1 \rbrace \simeq \mathbb{T}^3$ 上放置线性化系统的初始数据，并研究线性解在坍缩方向 $t \downarrow 0$ 上的行为。我们的第一个主要结果是证明了线性解的近似 $L^2$ 单调性恒等式。利用该恒等式，我们证明了当背景 Kasner 解充分接近 Friedmann-Lema\^{\i}tre-Robertson-Walker (FLRW) 解时成立的线性稳定性结果。特别地，我们证明了当 $t \downarrow 0$ 时，线性解的各时间缩放分量收敛为沿 $\lbrace t = 0 \rbrace$ 定义的规则函数。此外，我们通过证明 CMC 输运空间坐标规范可以被视为 lapse 变量的一族抛物规范的一个极限版本，从而解释了近似单调性的偏好方向；在抛物规范下也成立近似单调性恒等式及相应的线性稳定性结果，但相应的抛物型偏微分方程仅在 $t \downarrow 0$ 方向上是局部适定的。最后，基于线性稳定性结果，我们概述了以下结果的证明，其完整证明将在别处给出：FLRW 解在 $\lbrace t = 1 \rbrace$ 处数据的微小扰动下，在坍缩方向 $t \downarrow 0$ 上是全局非线性稳定的。