具有空间拓扑 $\mathbb{S}^3$ 的 Einstein-标量场系统近 FLRW 数据的最大发展

具有空间拓扑 $\mathbb{S}^3$ 的 Einstein-标量场系统的 Friedmann--Lema\^{\i}tre--Robertson--Walker (FLRW) 解，对一个从奇异类空超曲面（大爆炸）发出的宇宙进行建模，沿着该曲面各种时空曲率不变量发散，并在未来以对称方式重新坍缩（大挤压）。在本文中，我们给出了 FLRW 数据在其演化时间中点处扰动的最大发展的完整描述。我们证明，受扰动的解同样在一对类空超曲面上表现出曲率发散，这标志着大爆炸和大挤压的稳定性。此外，我们对解直至奇点的渐近行为给出了精确描述，特别表明各种时间重缩放的解变量收敛于奇异超曲面上接近相应 FLRW 张量场的正则张量场。我们的证明关键地依赖于 $L^2$ 型近似单调性恒等式，其精神与我们在与 Rodnianski 合作的论文中所使用的相同，在那些论文中我们证明了具有空间拓扑 $\mathbb{T}^3$ 的近平坦空间解的类似结果。在本文中，我们依赖新的要素来处理 $\mathbb{S}^3$ 上的近圆形空间度量，其曲率在初始数据超曲面附近为一阶量级。具体而言，我们的证明依赖于：i) 构建一个适应于 $\mathbb{S}^3$ 上圆形度量对称性的全局定义空间向量场标架；ii) 各种几何量关于该标架元素的 Lie 导数的估计；以及 iii) FLRW 解的标度因子在奇异超曲面附近渐近行为的精确估计。