KAM 环面的渐近轨道

本文构造了一类特定的 2.5 自由度近可积系统：$$H(p,q,t)=h(p)+\epsilon f(p,q,t),\quad (q,p)\in T^{*}\mathbb{T}^2,t\in \mathbb{S}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z},$$其中 $f(p,q,t)$ 具有自相似性和弱耦合性，$h(p)$ 严格凸。对于给定的 Diophantine 旋转向量 $\vec{\omega}$，只要 $\epsilon\ll1$ 充分小且 $f\in C^r(T^{*}\mathbb{T}^2\times\mathbb{S}^1,\mathbb{R})$ 足够光滑，我们就能找到趋向于 KAM 环面 $\mathcal{T}_{\omega}$ 的渐近轨道，该环面因经典 KAM 理论而得以保持。本构造基于 Chong-Qing Cheng 在{\it a priori}稳定 Arnold 扩散问题中发展的新方法。作为该工作的扩展，本文为寻求更精确的扩散轨道提供了一些启示。