大扭转与有限光滑大扰动下的 KAM 定理

在本文中，我们将讨论如下非退化哈密顿系统 \begin{equation*} H(\theta,t,I)=\frac{H_0(I)}{\varepsilon^{a}}+\frac{P(\theta,t,I)}{\varepsilon^{b}}, \end{equation*} 其中 $(\theta,t,I)\in\mathbf{{T}}^{d+1}\times[1,2]^d$ ($\mathbf{{T}}:=\mathbf{{R}}/{2\pi \mathbf{Z}}$)，$a,b$ 为给定的正常数且 $a>b$，$H_0: [1,2]^d\rightarrow \mathbf R$ 为实解析的，$P: \mathbf T^{d+1}\times [1,2]^d\rightarrow \mathbf R$ 为 $C^{\ell}$，其中 $\ell=\frac{2(d+1)(5a-b+2ad)}{a-b}+\mu$，$0<\mu\ll1$。我们证明若 $\varepsilon$ 充分小，则上述哈密顿系统存在具有给定 Diophantine 频率向量的不变环面。作为应用，我们证明了具有周期外力的有限 Duffing 振子网络对几乎所有初值具有 Lagrangian 稳定性。