论 KAM 环面的稳定性

我们证明，一个具有丢番图频率 $\o_0$ 的解析不变环面 $\cT_0$ 绝非孤立的，原因在于以下二择一情形。若哈密顿量在 $\cT_0$ 处的 Birkhoff 正规形满足 Rüssmann 横截性条件，则该环面 $\cT_0$ 被具有正总测度的 KAM 环面所聚积。若 Birkhoff 正规形是退化的，则存在一个维数至少为 $d+1$ 的子簇，该子簇由频率为 $\o_0$ 的解析不变环面所叶状化。对于具有有限一致丢番图指数的频率向量 $\o_0$（这包含刘维尔向量的剩余集），我们证明，若哈密顿量 $H$ 在 $\cT_0$ 处满足 Kolmogorov 非退化条件，则 $\cT_0$ 被具有正总测度的 KAM 环面所聚积。在 $4$ 个或更多自由度的情况下，我们针对任意 $\o_0 \in \R^d$ 构造出 $C^\infty$（Gevrey）哈密顿量 $H$，其具有一个频率为 $\o_0$ 的光滑不变环面 $\cT_0$，且该环面不被正测度的不变环面所聚积。