二又二分之一个自由度的强形式 Arnold 扩散

本文证明了强形式的 Arnold 扩散。设 $\mathbb{T}^2$ 为二维环面，$B^2$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中原点处的单位球。固定 $\rho>0$。我们的主要结果表明，对于具有严格凸 $H_0$ 的二自由度可积系统的“一般”时间周期扰动 $$H_0(p)+\epsilon H_1(\theta,p,t),\quad \ \theta\in \mathbb{T}^2,\ p\in B^2,\ t\in \mathbb{T},$$ 在 $\mathbb{T}^2 \times B^2 \times \mathbb{T}$ 中存在一条 $\rho$-稠密轨道 $(\theta_{\epsilon},p_{\epsilon},t)(t)$，即该轨道的 $\rho$-邻域包含 $\mathbb{T}^2 \times B^2 \times \mathbb{T}$。我们的证明结合了几何方法与变分方法。构造的基本要素包括使用来自 \cite{BKZ} 的皱缩正规双曲不变柱面、来自...的花形与简单正规双曲不变流形，以及它们在强双重共振处的相切性质。这使得我们能够构建一个“连通”的三维正规双曲不变流形网络。为了沿此网络构造扩散轨道，我们采用了 Bernard 在 \cite{Be} 中提出的 Mather 变分方法 \cite{Ma2} 的一个版本。该版本配备了弱 KAM 理论 \cite{Fa}。