Phase-field 建模中多种数值格式的渐近稳定性

在近期突破性工作 \cite{xu2023lack} 中，对源自 Allen-Cahn 方程的含三次多项式的标量 ODE 的数值解进行了严格的数值分析。研究发现，在唯一可解性和能量稳定性条件下，仅隐式 Euler 方法对任意给定初值 $u_0$ 收敛到正确的稳态。但所有其他常用的二阶数值格式均表现出对初值的敏感性，当 $t_n\to\infty$ 时可能收敛到错误的平衡态。这表明能量稳定性可能不足以决定数值解的长期定性正确性。我们发现，利用解的另一个基本性质——即单调性而非能量稳定性——足以保证许多常见数值格式收敛到正确的平衡态。由此我们引入临界步长常数 $h^*=h^*(u_0,\epsilon)$，以确保数值解的单调性和唯一可解性，其中比例参数 $\epsilon \in(0,1)$。我们证明隐式 Euler 格式的 $h^*=h^*(\epsilon)$ 与 $u_0$ 无关，仅依赖于 $\epsilon$。因此无论取何初值，当 $h<h^*$ 时均可保证模拟的正确性。但对于各种其他数值方法，无论事先步长 $h$ 多小，总存在导致模拟误差的初值。事实上，对于这些数值方法，我们证明 $\inf_{u_0\in \mathbb{R}}h^*(u_0,\epsilon)=0$。多种数值实验被用于验证理论分析。