相图由不变环面叶状化的非线性微分方程组的渐近积分

我们考虑自治系统 $\dot x=f(x)$ 的一类，其中 $x \in {\bf R}^{2n}$，$f \in C^1({\bf R}^{2n})$，其相图是 $n$ 个二维中心的笛卡尔积。我们还考虑该系统的扰动，即 $\dot x=f(x)+g(t,x)$，其中 $g \in C^1({\bf R}\times{\bf R}^{2n})$ 且 $g$ 渐近小，亦即当 $t\to +\infty$ 时关于 $x$ 一致地有 $g\Rightarrow 0$。假定 $g$ 的衰减率为 $t^{-p}$，其中 $p>1$。在此条件下我们证明扰动系统有界解的存在性，并讨论它们向未扰动系统解的收敛性。该收敛性依赖于 $p$。此外，我们证明原未扰动系统可化为形式 $\dot r=0$，$\dot\theta=A(r)$，并取 $r\in {\bf R}^m_{+}$，$\theta\in {\bf T}^n$，其中 ${\bf T}^n$ 表示 $n$ 维环面，我们研究相图由不变环面叶状化的更一般系统类。我们注意到可积哈密顿系统具有同样的性质。我们还给出若干例子，表明我们定理的条件不可改进。