Frobenius 幂的基座渐近行为

设 $(R, m)$ 是特征为素数 $p$ 的局部环，$q$ 是 $p$ 的变动幂。我们研究 $R/I^{[q]}$ 的基座的渐近行为，其中 $I$ 是 $R$ 的一个 $m$-准素理想。在分次情形下，我们将 $R$ 的对角 $F$-阈值定义为当 $q \to \infty$ 时 $R/m^{[q]}$ 的顶部基座次数除以 $q$ 的极限。对角 $F$-阈值在以下情况下作为正数（在后一种情况下为有理数）存在：(1) $R$ 是完全交或 $R$ 在穿孔谱上是 $F$-纯的；(2) $R$ 是二维正规域。在后一种情况下，我们还讨论了其几何解释，并将其应用于确定由 $x^n+y^n+z^n=0$ 在 $\mathbb P^2$ 中定义的光滑射影曲线上的 $(x^d, y^d,z^d)$ 的合冲丛的强半稳定性。本文的其余部分涉及一个不同的问题：$R/I^{[q]}$ 的基座长度如何随 $q$ 变化。我们给出了一类达到最小 Hilbert-Kunz 函数的超曲面环的 $R/m^{[q]}$ 基座长度的显式计算。最后，我们证明在温和条件下，当 $q \to \infty$ 时，该长度函数的增长与 $R/m^{[q]}$ 的第二 Betti 数的增长最多相差一个常数。